Éclairage d'une place

Le rectangle \(\text O\text A\text B\text C\) ci-dessous représente une place touristique vue de dessus. Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O \; ; \; \vec{\imath} , \vec{\jmath}\right)\)  tel que \(\vec {\text O\text C }= 24\vec{\imath}\)  et \(\vec{\text O\text A} = 35\vec{\jmath}\) .

Afin d'éclairer le plus grand nombre de monuments, on place au point \(\text O\) , un projecteur lumineux qui permet d'éclairer la partie du plan délimitée par les segments de droite \([\text O\text K]\) et \([\text O\text L]\) tels que \(\text K\)  est le milieu de \([\text A\text B]\)  et \(\vec{\text C\text L} = \dfrac{1}{5}\vec{\text C\text B}\) .

1. Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) , \(\text K\)  et \(\text L\) .

2. Un visiteur affirme : « Moins de \(70\)  % de la surface de la place est éclairée. » Cette affirmation est-elle exacte ?

3. a. Donner les coordonnées des vecteurs \(\vec {\text O\text K}\)  et  \(\vec{\text O\text L}\) .
    b. Montrer que le produit scalaire \(\vec{\text O\text K} \cdot \vec{\text O\text L}\)  est égal à \(533\) .
    c. En déduire la mesure, arrondie au degré, de l'angle \(\widehat{\text K\text O\text L}\) .